 | | EL PROBLEMA DEL
CONTINUO |
“La continuidad pertenece al reino de la conciencia” (Franklin Merrell-Wolff)
“El continuo es una fuente inextinguible de números, pero no consta de puntos sino de partes infinitesimales” (Charles Sanders Peirce)
“A lo largo de los tiempos, los problemas del continuo y del infinito fueron dos cuernos de un solo dilema” (Tobias Dantzig)
El Problema
El problema del continuo es esencialmente el problema de la cardinalidad de los números reales. Hilbert, en el famoso Congreso Internacional de Matemáticos de Paris de 1900, planteó 23 problemas que estaban pendientes de resolver. El primero de ellos era el problema del continuo, al que consideraba como el problema matemático más importante. Hoy día, este problema sigue sin resolver.
La Teoría de Cantor
El teorema sobre los puntos del continuo
Según este teorema, los puntos de una variedad continua de n dimensiones (n > 1) se pueden hacer corresponder de forma biunívoca con los puntos de una variedad continua de una dimensión. Por lo tanto, ambas variedades tienen la misma cardinalidad. Cantor, en una carta a Dedekind el 29 de Junio de 1877 le pedía su opinión y decía “Si no lo veo, no lo creo”.
Una variedad es un objeto geométrico que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión.
Por ejemplo, los puntos de un cuadrado se pueden hacer corresponder biunívocamente con los puntos de un segmento. La demostración en este caso es muy simple. Si tenemos un cuadrado de lado 1 con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas, un punto interior P tiene de coordenadas (0.a1a2a3..., 0.b1b2b3...). A este punto P le hacemos corresponder el punto Q del segmento base del cuadrado 0.a1b1a2b2a3b3...Y a la inversa, a todo punto Q del segmento base unidad 0.a1b1a2b2a3b3... se le puede hacer corresponder el punto P de coordenadas (0.a1a2a3..., 0.b1b2b3...).
Dedekind intuyó que la aplicación de un cuadrado sobre un segmento era discontinua. En 1910, Brower demostró la conjetura de Dedekind. En 1878, Cantor demostró que los conjuntos Rn y R tienen la misma cardinalidad, es decir, todo espacio euclídeo de dimensión n tiene la misma cardinalidad que el espacio de dimensión 1 (la recta real).
La hipótesis del continuo
Cantor introdujo el concepto de número cardinal para comparar el tamaño de conjuntos infinitos, demostrando en 1874 que el cardinal del conjunto de los números naturales es estrictamente menor al de los números reales. Cantor se preguntó si existen conjuntos infinitos cuya cardinalidad esté incluida estrictamente entre las de ambos conjuntos.
La hipótesis del continuo (HC) establece que no existe ningún conjunto de cardinalidad infinita que esté comprendida estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales, es decir, entre ℵ0 y ℵ1 y que c (la cardinalidad del continuo) es ℵ1, es decir, c = 2^ℵ0 = ℵ1,. Cantor creía en esta hipótesis, pero no pudo demostrarla ni refutarla.
En 1940, Gödel demostró que la HC era consistente con ZF (la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel) y con ZFC (ZF incluyendo el axioma de elección).
Paul Cohen demostró en 1963 que ni la hipótesis del continuo (HC) ni el axioma de elección (AE) pueden probarse a partir de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos, los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). Es decir, estos dos axiomas (HC y AE) no pueden ser ni probados ni refutados a partir de los axiomas ZF. Ambos son indecidibles.
El axioma de elección de la teoría de conjuntos afirma: “En una colección (finita o infinita) de conjuntos no vacíos existe un conjunto que contiene un elemento, y solo uno, de cada conjunto de la colección”.
Este axioma es muy controvertido y no todos los matemáticos lo aceptan. Si se acepta es porque se simplifican las demostraciones matemáticas. En el caso de una colección finita, el axioma es evidente. Si la colección es infinita, es imposible desarrollar un algoritmo capaz de construir un conjunto de elección porque el algoritmo no terminaría nunca. Desde el punto de vista de MENTAL, el conjunto de elección solo podría describirse, no construirse, por ser infinito.
De todas formas, la HC se puede incluir o no como axioma. Hacerlo o no conduce a dos versiones diferentes de la recta real.
La hipótesis del continuo generalizada (HCG) afirma que no existen infinitos intermedios entre ℵn y ℵn+1. Se ha demostrado que la HCG es también independiente de la teoría ZF y que implica el axioma de elección.
Crítica de la Teoría de Cantor y Solución al Problema del Continuo
Sobre el concepto de “continuo”
Existe mucha confusión sobre el concepto de “continuo”. A la luz del principio de causalidad descendente y los dos modos de conciencia, todo se aclara:
- Con el concepto de continuo (opuesto a lo discreto) nos encontramos con una situación similar al concepto de infinito (opuesto a finito). Lo continuo y lo infinito pertenecen al modo de conciencia sintético, del hemisferio derecho (HD) del cerebro. Lo discreto y lo finito pertenecen al modo de conciencia analítico, del hemisferio izquierdo (HI) del cerebro.
| Modo HI | Modo HD
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| Finito | Infinito
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| Discreto | Continuo
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- El concepto de continuo proviene de la geometría, concretamente de la línea recta. Su concepto dual es la aritmética, que es de naturaleza discreta.
- Una recta no está constituida por puntos ni “contiene” puntos porque una recta tiene extensión y el punto no. El continuo contiene segmentos. Los puntos son manifestaciones (discretas) del continuo. El punto, al no tener extensión, no tiene partes, de la misma manera que el cero es indivisible. Un punto es una dirección de la recta real, no un contenido.
- El punto es inexpresable, pertenece a un reino trascendente de no-espacio y no-tiempo. No obstante, puede representarse como un número o secuencia de números. Un punto se representa en el espacio nD mediante n números ordenados (secuencia). Es un arquetipo geométrico (el punto) representado por arquetipos aritméticos (los números). El punto como arquetipo es un elemento intermediario entre lo continuo y lo discreto.
- No tiene sentido hablar de “recta real” porque los números reales no están contenidos en lo continuo. Son solo manifestaciones del continuo. Los números reales no constituyen el continuo, no forman parte del continuo, como los puntos.
- El continuo se contiene a sí mismo. Un segmento tiene estructura holográfica. Cada parte es como la totalidad o semejante a la totalidad. A nivel cualitativo, todos los segmentos son el mismo segmento, no así cuantitativamente.
- Como el punto no tiene extensión, todos los segmentos son cualitativamente idénticos, incluyendo los infinitamente grandes y los infinitamente pequeños. El continuo está formado por partes. Cada parte tiene la cualidad (lo continuo) del todo.
- Los puntos manifestados de la línea recta se pueden hacer corresponder con los números reales, obteniendo así la recta real. La recta real tiene infinitos números y es de densidad infinita y cada una de sus partes tiene también estas propiedades.
- El continuo es una cualidad, como el infinito Lo cuantitativo es lo superficial. Lo continuo no se puede capturar desde lo discreto. Lo cualitativo no se puede capturar desde lo cuantitativo. Lo profundo no se puede capturar desde lo superficial. Lo intuitivo no se puede capturar con lo racional.
- El continuo no se puede racionalizar. Desde lo superficial no se puede acceder a lo profundo. Los puntos y los números reales son manifestaciones del continuo. Desde los puntos y los números reales no se puede acceder a lo continuo.
Según el teorema de continuidad de Brower, el continuo no se puede dividir, es indescomponible. Formalmente: todo subconjunto decidible de R o es vacío o incluye a todos los elementos de R.
Sobre el problema del la cardinalidad del continuo
Planteado ingenuamente, el problema del continuo es: ¿cuantos puntos contiene un segmento de recta? Se trata de un falso problema por las siguientes razones:
- No tiene sentido hablar de la cardinalidad del continuo porque la cardinalidad solo se aplica a lo discreto. Lo continuo no tiene cardinalidad porque es una cualidad.
- Un segmento, por pequeño que sea, tiene extensión. Un punto no tiene extensión. Por lo tanto, no tiene sentido decir que la recta consiste en infinitos puntos, pero sí que se manifuesta en infinitos puntos. A cada punto le corresponde un número real.
- Un segmento, al ser continuo, pertenece a un nivel de realidad más profundo que los puntos. Los puntos son manifestaciones del segmento. Preguntar cuántos puntos hay en un segmento es aplicar un enfoque superficial a lo profundo, lo que está abocado al fracaso. El enfoque debe ser el contrario. Hay que aplicar el principio de causalidad descendente, en este caso desde lo continuo hacia lo discreto, desde el segmento hacia los puntos.
- Lo continuo y lo discreto corresponden a los dos polos de la conciencia, a lo profundo y a lo superficial, respectivamente. De lo continuo, de lo profundo, emana o se manifiesta lo discreto, lo superficial. La recta real (lo continuo) contiene o manifiesta los números (discretos), pero en sí misma la recta real no es numerable, ni finita ni infinitamente. Lo discreto es lo analítico; lo continuo es lo sintético.
- El continuo se manifiesta como puntos e infinitésimos. Los puntos no tienen extensión (o contenido), son solo direcciones, y estas direcciones son expresables mediante coordenadas en un sistema cartesiano. Los infinitésimos tienen extensión imaginaria y no son expresables. El continuo no está constituido por puntos porque entonces no tendría extensión. Tampoco está constituido por infinitésimos porque su extensión sería imaginaria. El continuo es inexpresable.
Sobre la equipotencia de todos los segmentos
Si tenemos dos segmentos de diferente longitud en el plano, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de uno y otro segmento. Si las longitudes de los segmentos A y B son a y b, respectivamente, al punto fa de A se le hace corresponder el punto fb de B, donde f es un factor entre 0 y 1. En definitiva todos los segmentos se pueden poner en correspondencia biunívoca con el segmento [0−1].
Pero esto no quiere decir que todos los segmentos tengan la misma cardinalidad por varias razones: 1) los puntos no tienen extensión; 2) los segmentos tienen la cualidad del continuo y no tienen cardinalidad; 3) sus manifestaciones (los puntos) tienen la propiedad común de ser infinitos, pero ser infinito es una cualidad, no una cantidad.
Conclusiones
- No existe el problema del continuo. No tiene sentido el concepto de “cardinalidad del continuo”.
- Parafraseando a Wittgenstein, “La hipótesis del continuo no es un problema irresuelto, sino más bien un pseudoproblema”.
- Puntos y números reales son manifestaciones del continuo.
- La cardinalidad de los puntos y los números reales es infinita, en sentido cualitativo.
Sorprendentemente, todavía hoy se admite que Cantor tenía razón al distinguir diferentes clases de infinitos.
Adenda
La paradoja Banach-Tarski (1 = 2)
Esta paradoja afirma que es posible coger una esfera sólida, cortarla en un número finito de piezas, reestructurarlas usando solo movimientos rígidos de traslación y rotación, y reensamblarlas en dos copias idénticas a la esfera original, duplicando así el volumen original. Sorprendentemente, no se necesitan nada más que 5 piezas para lograr este resultado. Además, una de estas piezas consta de un solo punto, que es el centro de la esfera. Esta paradoja se explica por lo siguiente:
- No se trata de una esfera física, sino de una esfera matemática, que es el conjunto de los puntos que componen una esfera 3D en R3. La esfera matemática es continua, contiene infinitos puntos, es de densidad infinita y es infinitamente divisible (como ocurre en un segmento de R). Una esfera física, en cambio, no es infinitamente divisible porque consta de un número finito de átomos.
- Cada una de las piezas tiene una forma extraña y compleja, por lo que el volumen no es medible (no está bien definido y es incompatible con la noción de volumen) porque está formada por puntos aislados distribuidos por el volumen entero de la esfera. No todos los objetos 3D tienen volumen.
- Se hace uso del axioma de elección, En el caso de la paradoja, cada una de las piezas infinitamente complejas se construye a partir de conjuntos de elección.
Las dos esferas siguen teniendo el mismo número infinito de puntos y la misma densidad infinita que la esfera original. Pero en una esfera física, las dos esferas resultantes tendrían la mitad de densidad.
Una versión alternativa de este teorema afirma que es posible coger una esfera del tamaño de un guisante, cortarlo en un número finito de piezas y reensamblarlo para formar una nueva esfera del tamaño del Sol.
Bibliografía
- Dauben, Joseph Warren. George Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press, 1990.
- Cohen, Paul J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. Dover Books on Mathematics, 2008.
- Gödel, Kurt. Consistency of the Axiom of Choice and the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press, 1940.
- Jech, Thomas J. The Axiom of Choice. Dover Books on Mathematics, 2008.
- Kanamori, Akihiro. The Mathematical Development of Set Theory from Cantor to Cohen. Elsevier, 2012. Disponible online.
- Moore, Gregory H. Zermelo’s Axiom of Choice: Its Origins, Development, and influence. Dover Books on Mathematics, 2013.
- Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin. Set Theory and the Continuum Problem. Dover Books on Mathematics, 2010.
- Stewart, Ian; Golubitsky, Martin. ¿Es Dios un geómetra?. Drakontos, Crítica, Barcelona, 1995.
- Taschner, Rudolf. The Continuum: A Constructive Approach to Basic Concepts of Real Analysis. Vieweg+Teubner Verlag, 2012.
- Wagon. Stan. The Banach-Tarski Paradox. Cambridge University Press, 1993.
- Weyl, Hermann. The Continuum. A Critical Examination of the Foundation of Analysis. Dover Book son Mathematics, 1994.